人类的大脑是一个古迹，也是一个演化之谜：860亿摆布的神经元被塞进仅仅1/4个充气足球大小的空间内；从顺手刷刷Instagram到将人们奉上太空——我们所做的任何事都依靠于这些神经元形当作的收集。但一向悬而未决的问题是——我们缺乏对这些收集布局更深刻的理解。

知觉仍然是个出格令人伤脑子的问题：人类的大脑是如何把泛滥的输入旌旗灯号（光子、气息分子、声波、皮肤上的感受）转化为一种切确的心理模拟的？好比说，神经收集如何表征巧克力的气息？

比来的研究表白：数学也许可以或许帮忙我们理清这些问题。为了更好地描述那些介入知觉和其他认知活动的复杂收集，一些研究者乞助于双曲几何（hyperbolic geometry）。和其他的几何学类别一样，它是一套关于空间、距离和毗连的法例。可是分歧于大大都人在高中进修的（或者说厌恶的）欧氏几何（Euclidean geometry），双曲几何描述的是：若是空间在每一处都是弯曲的，它们是经由过程什么体例保持起来的。

_{“几何之父”欧几里得—BilwissEdition Ltd. & Co. KG/Alamy}

“一向以来，双曲几安在生物学范畴都没有获得正视。”来自加州拉霍亚的索尔克生物研究所（Salk Institute for Biological Studies）的塔季扬娜·夏普（Tatyana Sharpee）说。在曩昔的几年里，对嗅觉系统布局的研究指导着她走标的目的双曲几何学。但我们的嗅觉还只是个初步；她认为同样的方式也可以推广到其他的感受通道和过程中。

若是像夏普这样的研究者是对的，那么要理解心智，我们需要筹办好信仰双曲几何的教义——当它们初次表态时，近乎是数学宿世界的异端。

无底之夜的初步

2000多年前，被称为“几何之父”的希腊数学家欧几里得在其专著《几何原本》（Elements）中总结出了一系列的法例。欧氏几何的这些法例给平面的、应用的、物理的宿世界供给了近似的描述，而且在日常糊口中也合用。一向以来它指导着我们跨越山海、建起高楼、驾车驰骋——凡是我们觉得宿世界恰是遵循着这些法例运行的。

但问题出在“平行公设”（欧几里得的第五公设，Euclid’s Fifth Postulate）。在原始版本中，它提出若是一条直线和其他两条直线订交，而且这些订交所形当作的同旁内角*（interior angles on the same side）的加和小于180度，那么别的的那两条直线必然会在某一点交会（广为人知的是“平行公设”的简单版本：“平行线永不订交”）。也恰是在“平行公设”下，我们获得了“勾股定理”，而且证实了三角形的内角和是180度。

_*译者注

_{当一条直线与别的两条直线订交时，位于直线一侧，而且处在两条直线之间的角一共有两个。这时，称这两个角互为同旁内角。可拜见：https://zh.wikipedia.org/wiki/同旁内角}

我们一般认为一条公设应该是不证自明的，但在这方面“平行公设”射中了数学家们的关键。它似乎在直觉上并不是那么有说服力——甚至欧几里得在《几何原本》中的大大都命题也都没有援引“平行公设”。学者们破费了上千年来霸占这一令他们头疼的问题，终于，在19宿世纪早期，他们起头发问：若是“平行公设”纷歧定当作立呢？

这一问改变了一切。他们意识到违反“平行公设”并不是意气用事，而是开启了一扇大门——引进了仍然连结着自洽的新的几何学。

_{匈牙利数学家亚诺什·鲍耶挑战欧几里得在2000多年前提出的法例—Science History Images/Alamy}

打破“平行公设”的设法吸引了那时包罗卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）和尼古拉·罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）在内的良多大数学家。此中最值得一提的人物是亚诺什·鲍耶（János Bolyai），一位襟怀胸襟理想的匈牙利年青数学家，他是首批为这一新的几何学拟定法则的人之一。在1820年，他想到了一个激进的方式来挫败欧几里得。亚诺什意识到将“平行公设”的前提放宽打开了一扇通往一个奇异的、非欧几何（non-Euclidean geometries）宿世界的窗户。

他的父亲法卡斯（Farkas）并不高兴，说出了我们一般不会从一个数学家又或者是从一个父亲的嘴里听到的话。

“看在天主的体面上，抛却吧。”法卡斯给亚诺什写信说。

他在信里继续写道：“憎恶这种设法吧（就像憎恶淫荡的性交一样），它会夺走您所有的闲暇、您的健康、您残剩的生命，还有您糊口中全数的幸福。”法卡斯也是一名数学家，而且是高斯终生的伴侣，他提到高斯也曾经挑战过欧几里得。“我已去测量过那无底之夜，然后我糊口中所有的光亮和欢喜全都熄灭于此。”

尽管父亲所给的鼓动勉励仅此罢了（若是算得上是鼓动勉励的话），亚诺什却并未就此罢休，继续为“非欧几何”（现现在我们这样称号它）拟定法则。在欧氏几何中，三角形的内角加和是180度而且平行线永不订交。在非欧几何中却不是这样。球面几何（Spherical geometry）就是一个例子——若是您在球面上画一个三角形（就例如将海说神聊极、檀喷鼻山*和迈阿密三点连起来），它的内角和会跨越180度。

_*译者注

_{檀喷鼻山（Honolulu），美国夏威夷州的首府和港市。}

双曲几何是另一种闻名的非欧几何。一个跨越了三维空间的双曲平面，看上去并不是平的；它看上去更像是一块品客薯片或是马鞍，处处都是弯曲的。若是您站在一个双曲平面上朝某个偏向走一步，您会升高；若是您转90度再走一步，您又会下降。在双曲空间内，一个三角形的内角和小于180度。

回廊与非欧视觉

回溯到100多年前，一项濒临被忘怀的研究曾提出双曲几何有助于诠释视知觉过程。1902年，德国科学家F.希勒布兰德（F.Hillebrand）开展了平行线尝试（alley experiment），10年后，W.布卢门费尔德（W.Blumenfeld）进行了反复尝试*。尝试在暗中情况中进行，被试的头部被固定住而且目视前方。呈现给被试的刺激是两条结尾固定（而且固定端点关于被试的视线呈轴对称）的发光的线状刺激（见下图所示，E代表固定的端点）。被试被要求完当作两种使命：（1）平行使命（parallel），被试调整刺激使得它们呈彼此平行的直线；（2）距离使命（distance），被试调整刺激使得两条线处处距离相等。在尝试的最后，被试就像是标的目的一条冷巷的中心放眼望去（这也是尝试的定名由来，alley experiment可以直译为冷巷尝试）。

_*译者注

_{此处对原文有所点窜，以便读者理解尝试过程。参考论文 ：Zajaczkowska, A. (1956). Experimental test of Luneburg’s theory. Horopter and alley experiments. JOSA, 46(7), 514-527.}

_{布卢门费尔德的平行线尝试。尝试成果发现被试摆列的平行直线现实上曲直线；而且在平行使命下获得的曲线比在距离使命下获得的曲线更接近视线。}

_{—Zajaczkowska, A. (1956). Experimental test of Luneburg’s theory. Horopter and alley experiments. JOSA, 46(7), 514-527.}

但这些尝试揭示出一个悖论：被试依靠本身的知觉将一些线判定为彼此平行的直线，但现实上它们既不直又不服行，而是一条一条的曲线。在20宿世纪40年月，德裔数学家鲁道夫·吕内堡（Rudolf Luneburg）在达特茅斯眼科研究所（Dartmouth Eye Institute）完当作了一项工作，它可以帮忙我们理解为什么对平行线的知觉和实际之间存在分手。他发现经由过程双眼视觉，我们的知觉会形当作一个描述我们方圆情况（包罗事物的外形和位置）的三维地图。他试图找到一个矩阵来成立物理的真实宿世界和我们所看到的宿世界之间的映射关系。

_{在20宿世纪，双曲几何当作为了一种艺术灵感来历：例如，荷兰艺术家M.C. 埃舍尔（M.C. Escher）在其作品中描画了双曲几何的模子。现在，来自康奈尔大学的数学家戴娜·泰米娜（Daina Taimina）遵循这种创作传统，用钩针编织双曲空间的模子，经由过程这种体例，每小我都能将它拿在手上摆弄。—Daina Taimina}

吕内堡等人得出结论：关于知觉的法例长短欧式的，并且能被双曲几何更好地描述。在数十年后的1983年，科学哲学家帕特里克·海兰（Patrick Heelan）也论证了双曲视觉空间的存在；海兰还指出像保罗·塞尚（Paul Cézanne）、文森特 - 梵高（Vincent van Gogh）和约瑟夫·马洛德·威廉·特纳（Joseph Mallord William Turner）这些画家都在他们的作品中描画了双曲布局。

嗅觉的几何学

眼下，这事还没完。研究者继续探讨知觉收集的布局，一些迩来的尝试证据撑持视觉空间简直长短欧式的。在一项2018年的研究*中，研究者陈述说人们认为那些用非欧几何的法例缔造出的图像比那些用欧式几何的法例所缔造出的图像（就是我们在中学深信不疑地拿来阐发的那些）要加倍真实。

_*译者注

_{具体可参考论文：Burleigh, A., Pepperell, R., & Ruta, N. (2018). Natural Perspective: Mapping Visual Space with Art and Science. Vision, 2(2), 21.}

夏普说夜空也为双曲知觉供给了有力的证据。我们把暗中中的宇宙算作是呈圆顶状的，但天文距离被扭曲了。她提到，孩子们伸手去够月亮是因为它看上去近到触手可及，可是“距离是被压缩的”。

而这可能就是解开知觉的双曲性质之谜的钥匙：这一性质只呈现在环抱式的大标准内。“在小标准内的任何曲线几何都是欧式的。”她如是说。由纽瓦克市、纽约市以及奈阿克*三点形当作的三角形是顺从着欧式法例的。“这合适地平假设。但若是是从纽约到伦敦再到墨尔本，那就分歧了。”她说道。

_*译者注

_{纽瓦克市是美国新泽西州港市，奈阿克是位于美国纽约罗克兰县的橘镇的一个村庄。}

这是她的嗅觉地图*的中间思惟，因为从复杂水平来讲，嗅觉地图十分复杂。我们很轻易假设具有相似分子布局的嗅觉分子闻起来也差不多（这就比如认为我们将平行线知觉为是平行的）。但夏普的发现却并非如斯。在尝试中被试被要求把相似的气息分在统一组，随后夏普阐发了尝试获得的成果和常见气息的化学布局。

她的发现表白：人类大脑对气息分组的依据是它们凡是一路呈现的频率，而不是它们的分子构成。当她将尝试中获得的各组气息绘制当作嗅觉地图，夏普发现具有相似分子布局的气息之间的距离最合适双曲几何（而不是欧式几何）中的距离概念。她的工作申明——若是将知觉信息的组织布局投入一种弯曲的空间内来看，我们也许可以或许更多地领会大脑是如何组织知觉信息的。

_{-Andrey Kuzmin/Shutterstock-}

双曲几何，不入流的数学，除了模拟大脑知觉的复杂布局以外还有其他用武之地。在一篇即将颁发的论文*中，巴塞罗那的物理学家们成立了跨多物种的动物大脑收集模子。他们发现某个神经元未必会和与它空间距离比来的神经元彼此通信（即遵照欧氏几何您可能会等候发生的环境），而是遵循一种分歧的、加倍奇异的几何法例形当作中继收集。他们在论文中陈述，双曲空间给各物种脑内的毗连收集“供给了近乎完美的导航图”。双曲几何提醒了“对于大脑的一种新的制图学”，他们说道。近似地，一些计较机科学家也注重到双曲几何供给了一种吸惹人的数据组织方式，这种方式可以用于组织机械进修中所需要的大数据库。

_*译者注

_{此刻这篇论文已颁发，具体参考：Allard, A., & Serrano, M. ?. (2020). Navigable maps of structural brain networks across species. PLoS computational biology, 16(2), e1007584.}

“双曲几何是一种对大脑布局的复杂性很是天然的表征体例。” 安东尼·阿拉德（Antoine Allard）如是说，他是来自位于魁海说神聊克的拉瓦尔大学的物理学家，博士后时代曾在巴塞罗那大学从事跨物种研究。

生于无底之夜的数学界叛徒，还真不赖。

_{作者：Stephen Ornes|封面：Eva Va?zquez}

_{译者：Orange Soda|审校：兜虫}

_{排版：小葵花}

_{原文：https://www.discovermagazine.com/the-sciences/an-obscure-field-of-math-might-help-unlock-mysteries-of-human-perception}